確率変数の変換

確率変数$X$に対して, それを変換した確率変数$\dfrac{1}{X}$や$\log X$の確率分布を求めるには以下のようにする. ここで, 確率密度関数が$f(x)$で表される確率変数$X$に対して以下の確率変数$Y$を考える. このとき, この確率変数$Y$の確率密度関数$g(y)$を求める. $$ Y=\phi(X) $$ まず, 変数$y$を以下の式で表す. 関数$\phi(x)$は単調増加または単調減少関数である. $$ y=\phi(x) $$ また, 上式を$x$について解いた関数を以下のように表す. $$ x=\psi(y)=\phi^{-1}(y) $$ このとき, 確率変数$Y$の確率密度関数$g(y)$は確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$および上の$\psi(y)$を用いて以下のように与えられる. $$ g(y)=f(\psi(y))\left|\frac{d\psi(y)}{dy}\right| $$ 以上で確率変数の変換が可能である. さらに, シンプルに式を書き下すと以下のように表すことができ, その形を覚えやすい. $$ g(y)=f(x)\left|\frac{dx}{dy}\right| $$