対数オッズ比の分散

デルタ法により, $V\left[\log \dfrac{p}{1-p}\right]$を求める. ただし, 成功確率が$p$である試行を$n$回行うときに成功する回数を$X$とすると, $X$は二項分布$B(n,p)$に従い, 標本比率$\hat{p}=\dfrac{X}{n}$の平均と分散は $$ E[\hat{p}]=p, V[\hat{p}]=\dfrac{p(1-p)}{n} $$ となることに注意する. $f(p)=\textrm{logit}(p)=\log \dfrac{p}{1-p}$とすると, $p=\hat{p}$の周りの$f(p)$の分散は, $$ V[f(p)]\approx [f'(\hat{p})]^2 V[p]\approx [f'(\hat{p})]^2 V[\hat{p}] $$ となる. ここで, \begin{align*} f'(p)&=\frac{d}{dp} \log \dfrac{p}{1-p}\\ &=\frac{d}{dp}[\log p-\log(1-p)]\\ &=\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}\\ &=\frac{1}{p(1-p)} \end{align*} より, \begin{align*} V[f(p)]&\approx \left[\frac{1}{\hat{p}(1-\hat{p})}\right]^2 V[\hat{p}]\\ &=\left[\frac{1}{\hat{p}(1-\hat{p})}\right]^2\cdot\frac{p(1-p)}{n}\\ &\approx \left[\frac{1}{\hat{p}(1-\hat{p})}\right]^2\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\\ &=\frac{1}{n\hat{p}(1-\hat{p})} \end{align*} となる. ここで$n$回の試行における確率$\hat{p}=\dfrac{n_1}{n}$とすれば（$n_1$：イベント数, $n_0$：非イベント数）, 対数オッズの分散は以下となる. \begin{align*} V[\log \textrm{Odds}]&=\frac{1}{n\hat{p}(1-\hat{p})}\\ &=\frac{1}{n\hat{p}}+\frac{1}{n(1-\hat{p})}\\ &=\frac{1}{n_0}+\frac{1}{n_1} \end{align*} また, $2\times2$分割表で, 曝露のイベント数$a$, 非イベント数$b$, 非曝露のイベント数$c$, 非イベント数$d$のオッズ比の対数の分散も同様に求められる. \begin{align*} V[\log \textrm{OR}]&=V\left[\log \frac{a/b}{c/d}\right]\\ &=V\left[\log \frac{a}{b}\right]+V\left[\log \frac{c}{d}\right]\\ &=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \end{align*} ゆえに, 近似的な標準誤差(SE)は $$ SE=\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}} $$ となる. なお、標本分布において分散の平方根は標準誤差となることに注意する。