PET検査の仕組み（第6回）「誤差要因の補正(2)：吸収と感度の補正」

　まず投影角を$\theta$, 位置座標を$r$とします。これは第2~4回までの定義と同じです。次に陽電子放出核種で標識した薬剤を投与したときの計測データをエミッションデータ(Emission data)（※1）と呼び、$E(r, \theta)$とします。さらに、真の線和（全ての補正をした真の同時計数分布）を$P(r, \theta)$, 被写体での放射線の減弱率(※2)を$A(r, \theta)$, 検出器感度のばらつき(※3)を$D(r, \theta)$, 偶発同時計数を$C(r, \theta)$, 散乱同時計数を$S(r, \theta)$とします。

　ここで$E(r, \theta)$は、

と表せます（その他の雑音成分は存在しないとみなします）。

※1：被写体の投影とほぼ同じですが、被写体による光子の吸収を受けています。その他にも検出器感度の影響を受けています。
※2：ただし、$A(r,\theta)$は0(完全吸収)から1(完全透過)までの値をとります。
※3：センサが返す値$x(r,\theta)$が正規分布$N(\mu,\sigma^2)$に従う場合、真の値$x_0$からの平均値のずれ$(x_0-\mu)$を「偏り」と呼び、標準偏差$\sigma$を「ばらつき」と呼びます。ゆえに$D(r,\theta)$は検出器が返す値が従う分布の標準偏差（真の値が同じ場合の標準偏差）であり、「$D(r,\theta)$で割る」という操作は標準偏差を全ての$r, \theta$に対して等しくするということを意味します。

　トランスミッションデータを$T(r,\theta)$, ブランクデータを$B(r,\theta)$とします。すると$T(r,\theta), B(r,\theta)$は$D(r, \theta), A(r, \theta)$および外部線源の投影$R(r)$を用いて次のように表せます。 \begin{align} \frac{T(r, \theta)}{D(r, \theta)}&=A(r, \theta)\cdot R(r)\\ \frac{B(r, \theta)}{D(r, \theta)}&=R(r) \end{align} なお、外部線源は放射線源を等速で回転させるため一般に円形であり（固定された外部線源を用いる場合もその形状は円柱であり、断面は円形です）、その投影$R$は$\theta$に依存しません（$R(r)$はばらつきがないと仮定したときのブランクデータ$B(r,\theta)$に一致します。また$R(r)$は外部線源を回転させる半径から算出することができます）。

　$C(r, \theta), S(r, \theta)$は第5回で説明したような補正によって除去されたとすると、 \begin{align} \frac{E(r, \theta)}{D(r, \theta)}=A(r, \theta)\cdot P(r, \theta) \end{align} となります。よって真の線和$P(r,\theta)$は \begin{align} P(r,\theta)=\frac{E(r,\theta)\cdot R(r)}{T(r,\theta)} \end{align} と表せます。

　これより吸収と感度の補正には「理論上は」トランスミッションデータさえ計測すればよいと考えられます。しかし、トランスミッションデータは一般にノイズが大きいので、式(2)、(3)により \begin{align} A(r,\theta)=\frac{T(r,\theta)}{B(r,\theta)} \end{align} を求め、式(4)により

として真の線和$P(r,\theta)$が得る方が一般的です。ここで用いた$Acf$のことを吸収補正計数(attenuation correction factors)と呼びます。ただし、2Dという添え字をつけているのは2次元スキャンの場合を考えているためです。

　最後に真の線和$P(r,\theta)$に第2~4回で説明した逆Radon変換を行い、断層画像を求めます。