演習問題6

\begin{align*} P\left(Y\geq y\right)&=P\left(-2\log X\geq y\right)\\ &=P\left(X\leq \exp\left(-\frac{1}{2}y\right)\right)\\ &=\int_0^{\exp\left(-\frac{1}{2}y\right)} dx=\exp\left(-\frac{1}{2}y\right)\ \ \ \cdots(6.1.1) \end{align*} となる. ここで, $Y\sim E_x\left(\dfrac{1}{2}\right)(=\chi^2_2)$ならば \begin{align*} P(Y\geq y)&=\int_y^{\infty} dy'\ \frac{1}{2}\exp\left(-\frac{1}{2}y'\right)\\ &=\left[\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{-\frac{1}{2}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}y'\right)\right]_y^\infty=\exp\left(-\frac{1}{2}y\right)\ \ \ \cdots(6.1.2) \end{align*} となり, (6.1.1),(6.1.2)式が一致するので, $Y\sim E_x\left(\dfrac{1}{2}\right)(=\chi^2_2)$である.