5.1
まず$F(x)$が単調増加することを示す. $$ F(x)=\sum_{i=1}^n c_i F_i(x)\ \ \ \cdots(5.1.1) $$ である. ここで$F_i(x)$は分布関数であるので, 単調増加関数である. また$c_i\geq0$であるので, (5.1.1)式より$F(x)$は単調増加関数である.
次に$F(-\infty)=0, F(\infty)=1$であることを示す. ただし, $$ F(-\infty):=\lim_{x\to-\infty}F(x),\ F(\infty):=\lim_{x\to\infty}F(x) $$ とする. $$ F_i(-\infty)=0,\ F_i(\infty)=1 $$ であるので, (5.1.1)式より, $$ F(-\infty)=\sum_{i=1}^n c_i F_i(-\infty)=0 $$ であり, $$ F(\infty)=\sum_{i=1}^n c_i F_i(\infty)=\sum_{i=1}^n c_i \cdot1=\sum_{i=1}^n c_i=1 $$ である. よって$F(x)$は分布関数である.
次に, この分布の平均と分散を求める. 分布関数$F_i(x), F(x)$は確率密度関数をそれぞれ$f_i(x),\ f(x)$として, \begin{align*} F_{i}(x) &=\int _{-\infty }^{x} f_{i}\left(x'\right) dx'\\ F\left(x\right) &=\int _{-\infty}^{x} f\left( x'\right) dx' \end{align*} と表せる. ゆえに \begin{align*} f(x)&=\dfrac{dF}{dx}\ \ \ \cdots(5.1.2)\\ f_{i}(x)&=\dfrac {dF_{i}}{dx}\ \ \ \!\cdots(5.1.3) \end{align*} である. よって, 平均は \begin{align*} \mu=E\left(X\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ xf\left(x\right) \\ &=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{dF}{dx}&(\because\ (5.1.2))\\ &=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{d}{dx}\sum_{i=1}^n c_i F_i(x)&(\because\ (5.1.1))\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{dF_i}{dx}\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ xf_i(x)&(\because\ (5.1.3))\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \mu_i \end{align*} となる. 同様に \begin{align*} E\left(X^2\right)&=\int _{-\infty}^{\infty}dx\ x^{2}f(x)\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ x^2f_i(x)\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i}\left( \sigma_{i}^{2}+\mu_{i}^{2}\right)\\ \end{align*} が成り立つので, 分散は \begin{align*} \sigma^2=V\left(X\right)&=E\left(X^{2}\right)-\left[E\left(X\right)\right]^{2}\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i}\left( \sigma_{i}^{2}+\mu_{i}^{2}\right)-\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}-2\mu^2+\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}-2\mu\sum_{i=1}^n c_i \mu_i+1\cdot\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_i (-2\mu\mu_i)+\sum_{i=1}^n c_i \mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} (\mu_{i}^{2}-2\mu\mu_i+\mu^2)\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} {(\mu_{i}-\mu)}^2 \end{align*} となる.
次に$F(-\infty)=0, F(\infty)=1$であることを示す. ただし, $$ F(-\infty):=\lim_{x\to-\infty}F(x),\ F(\infty):=\lim_{x\to\infty}F(x) $$ とする. $$ F_i(-\infty)=0,\ F_i(\infty)=1 $$ であるので, (5.1.1)式より, $$ F(-\infty)=\sum_{i=1}^n c_i F_i(-\infty)=0 $$ であり, $$ F(\infty)=\sum_{i=1}^n c_i F_i(\infty)=\sum_{i=1}^n c_i \cdot1=\sum_{i=1}^n c_i=1 $$ である. よって$F(x)$は分布関数である.
次に, この分布の平均と分散を求める. 分布関数$F_i(x), F(x)$は確率密度関数をそれぞれ$f_i(x),\ f(x)$として, \begin{align*} F_{i}(x) &=\int _{-\infty }^{x} f_{i}\left(x'\right) dx'\\ F\left(x\right) &=\int _{-\infty}^{x} f\left( x'\right) dx' \end{align*} と表せる. ゆえに \begin{align*} f(x)&=\dfrac{dF}{dx}\ \ \ \cdots(5.1.2)\\ f_{i}(x)&=\dfrac {dF_{i}}{dx}\ \ \ \!\cdots(5.1.3) \end{align*} である. よって, 平均は \begin{align*} \mu=E\left(X\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ xf\left(x\right) \\ &=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{dF}{dx}&(\because\ (5.1.2))\\ &=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{d}{dx}\sum_{i=1}^n c_i F_i(x)&(\because\ (5.1.1))\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ x\frac{dF_i}{dx}\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ xf_i(x)&(\because\ (5.1.3))\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \mu_i \end{align*} となる. 同様に \begin{align*} E\left(X^2\right)&=\int _{-\infty}^{\infty}dx\ x^{2}f(x)\\ &=\sum_{i=1}^n c_i \int _{-\infty }^{\infty }dx\ x^2f_i(x)\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i}\left( \sigma_{i}^{2}+\mu_{i}^{2}\right)\\ \end{align*} が成り立つので, 分散は \begin{align*} \sigma^2=V\left(X\right)&=E\left(X^{2}\right)-\left[E\left(X\right)\right]^{2}\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i}\left( \sigma_{i}^{2}+\mu_{i}^{2}\right)-\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}-2\mu^2+\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}-2\mu\sum_{i=1}^n c_i \mu_i+1\cdot\mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} \mu_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_i (-2\mu\mu_i)+\sum_{i=1}^n c_i \mu^2\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} (\mu_{i}^{2}-2\mu\mu_i+\mu^2)\\ &=\sum_{i=1}^n c_{i} \sigma_{i}^{2}+\sum_{i=1}^n c_{i} {(\mu_{i}-\mu)}^2 \end{align*} となる.
コメントをお書きください